\documentclass[UTF8]{ctexart}
\title{翻译}
\author{黄紫萱}
\usepackage{amsmath} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsthm} 
\usepackage{geometry} 
\usepackage{hyperref} 
\usepackage{graphicx} 
\usepackage{natbib} 
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\maketitle
\newpage

\section{12.2不可压缩的Navier-Stokes方程组}

不可压缩流体的二维流场可以通过速度向量q = (u(x, y), v(x, y)) $\in R^2 $和压力$ p(x, y) \in R$ 完全描述。这些函数是满足以下守恒定律的解（参见，例如，Hirsch, 1988）\cite{2007An}\\

• 质量守恒
\begin{equation}
    div(q)=0
\end{equation}

或者可以用\textit{散度}\footnote{我们回顾一下二维场中的微分算符散度、梯度和拉普拉斯算符的定义:如果v = (vx, vy) : R2 → R2 和 φ : R2 → R,则那么\\
        $ \text{div}(v) = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y},
        \mathcal{G}\phi = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}\right),
        \Delta \phi = \operatorname{div}(\mathcal{G}\phi) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} $ and $ \Delta v =(\Delta v_x , \Delta v_y) $}的显式形式来表示。

\begin{equation} \label{eq:yi}
    \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0
\end{equation}

• 动量守恒方程的紧凑形式表达为\footnote{我们用符号$\otimes$表示张量积。}：
\begin{equation}
    \frac{\partial q}{\partial t}+\text{div}(q \otimes q) = -\mathcal{G}p + \frac{1}{\text{Re}} \Delta q
\end{equation}

或者，用显式形式，
\begin{equation} \label{eq:er}
\begin{aligned}
    \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial^2 u}{\partial x}+\frac{\partial u\partial v}{\partial y}
    &=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{1}{\text{Re}} (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})\\
    \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial u\partial v}{\partial x}+\frac{\partial^2 v}{\partial y}
    &=-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{1}{\text{Re}} (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})
\end{aligned}
\end{equation}

之前的方程是以无量纲形式书写的，使用以下标尺变量表达：
\begin{equation}
   x=\frac{x^*}{L},y=\frac{y^*}{L},u=\frac{u^*}{V_0},v=\frac{v^*}{V_0},
   t=\frac{t^*}{L/V_0},p=\frac{p^*}{\rho_0 V_0^2},
\end{equation}

其中上标 (∗) 表示以物理单位测量的变量。常数 L 和 $V_0$
分别是表征模拟流动的参考长度和速度。无量纲数 Re 被称为雷诺数，用于量化流动中惯性（或对流）项和粘性（或扩散\footnote{在第一章中讨论了描述对流和扩散现象的模型标量方程。})项的相对重要性。
\begin{equation}
    Re = \frac{V_0 L}{v}
\end{equation}    
ν代表流体的动力粘度。

总结一下，在这个项目中将通过数值方法解决的Navier-Stokes偏微分方程系统由\ref{eq:yi}和\ref{eq:er}定义；初始条件（在t = 0时）
和边界条件将在接下来的章节中讨论。
\newpage

\section{12.4计算域，交错网络和边界条件}

通过考虑一个长为$L_x$、宽为$L_y$的矩形区域（参见图\ref{tikzpicture:cankao}），并在所有边界处应用周期性边界条件,
可以大大简化数值求解Navier-Stokes方程。速度场q(x, y)和压力场p(x, y)的周期性通过以下数学表达式来表示：

\begin{align}
    q(, y) = q(L_x, y), \quad p(, y) = p(L_x, y), \quad \forall y \in [0, L_y]\\
    q(x, ) = q(x, L_y), \quad p(x, ) = p(x, L_y), \quad \forall x \in [0, L_x]
\end{align}

我们的方法中，解将在一个遵循矩形均匀二维网格的区域中计算。由于不是所有的变量在相同的网格上共享，我们首先定义一个主要网格（参见图12.1），
该网格沿x方向上取$n_x$个计算点，沿y方向上取$n_y$个计算点来生成。

\begin{align}
    x_c(i)=(i - 1)\delta x,\ \delta x = \frac{L_x}{{n_x - 1}},\ i = 1,...,n_x\\
    y_c(i)=(i - 1)\delta y,\ \delta y = \frac{L_y}{{n_y - 1}},\ i = 1,...,n_y
\end{align} 
次网格由主网格单元的中心定义:

\begin{align}
    x_m(i)=(i - 1/2)\delta x,\ \ i = 1,...,n_xm\\
    y_m(i)=(i - 1/2)\delta y,\ \ i = 1,...,n_ym
\end{align} 

\begin{tikzpicture}[line width =2pt];\label{tikzpicture:cankao}
    \draw[thick] (0,0) -- (0,3);
    \draw[thick] (0,0) -- (4,0);
    \draw[thick,red] (0, 0) -- (0,3);
    \draw[thick,red] (0, 3) -- (3,3);
    \draw[thick,red] (0, 0) -- (3,0);
    \draw[thick,red] (3,0) -- (3,3);
    \draw[<->] (0, 1.5) -- (1,1.5);
    \draw[<->] (3.5, 1.5) -- (2.5,1.5);
    \draw[<->] (1.5, 3) -- (1.5,2);
    \draw[<->] (1.5, 0) -- (1.5,1);
    \node [above left] at (0,3) {$L_y$};
    \node [above right] at (3,0) {$L_x$};
    \node [left] at (0,2) {Y};
    \node [below] at (2,0) {X};
    \node [above ] at (1,1.5) {periodicity};
    \node [below right ] at (1.5,3) {periodicity};
    \node [above right] at (3,1.5) {periodicity};
    \node [above right] at (1.5,0) {periodicity};
    \node [below] at (0,0) {0};
    \node [left] at (0,0) {0};
    \draw[thick] (-1,-1) -- (-1,5);
    \draw[thick] (-1,-1) -- (5,-1);
    \draw[thick] (5,-1) -- (5,5);
    \draw[thick] (-1,5) -- (5,5);
    \draw[thick] (5.5,-1) -- (11.5,-1);
    \draw[thick] (5.5,-1) -- (5.5,5);
    \draw[thick] (5.5,5) -- (11.5,5);
    \draw[thick] (11.5,-1) -- (11.5,5);
    \draw[thick] (7,0) -- (11,0);
    \draw[thick] (7,0) -- (7,3);
    \draw[help lines,green] (7,0) grid(10,3);
    \draw[ultra thick, dotted] (7,1.5) -- (10,1.5);
    \draw[ultra thick, dotted] (8.5,0) -- (8.5,3);
    \node [above left] at (7,1.5) {$y_c$(j+1)};
    \node [left] at (7,1.5) {$y_m$(j)};
    \node [below left] at (7,1.5) {$y_c$(j)};
    \node [left] at (7,0) {0};
    \node [left] at (7,3) {Y};
    \node [above right] at (7,3) {$L_y$};
    \node [below left] at (8.5,0) {$x_c$(i)};
    \node [below ] at (8.5,0) {$x_m$(i)};
    \node [below right] at (8.5,0) {$x_c$(i+1)};
    \node [below ] at (7,0) {0};
    \node [above right] at (10,0) {$L_x$};
    \node [below ] at (11,0) {X};
    \draw [fill](8.5,1.5) circle (2pt);
    \draw [fill](8,1.5) circle (2pt);
    \draw [fill](8.5,1) circle (2pt);
    \node [above left ] at (8,1.5) {u(i,j)};
    \node [above right ] at (8.5,1.5) {p(i,j)};
    \node [below right] at (8.5,1) {v(i,j)};
\end{tikzpicture}

在计算单元内，其定义为矩形 $[x_c(i), x_c(i + 1)] × [y_c(j), y_c(j + 1)]$。未知变量 u、v、p 将被计算为不同空间位置上解的近似值。
其中，我们使用了简略符号 $n_xm = n_x−1，n_ym = n_y−1$。

• $u(i, j) \approx u(x_c(i), y_m(j))$(在单元格的西面),

• $v(i, j) \approx u(x_m(i), y_c(j))$(在单元格的南面),

• $p(i, j) \approx u(x_m(i), y_m(j))$(在单元格的中心),

这种变量的交错排列具有压力和速度之间强烈的耦合优势。它还有助于避免与集中式排列（即在相同的网格点计算所有变量）
出现的稳定性和收敛性问题（请参考本章末尾的参考文献）。
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{references}

\end{document}
